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By Jean-Michel Muller

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Puisque G est connexe, nous savons qu’il existe une arˆete e = (x, y) ∈ E(G) avec x ∈ V (H) et y ∈ / V (H). Soit z un sommet de V (H) \ {x}. Puisque G − x est connexe, il existe une chaˆıne P de y a` z dans G − x. D´ecrivant cette chaˆıne a` partir de y, soit z le premier sommet rencontr´e qui appartient a` V (H). Alors P[y,z ] +e peut eˆ tre rajout´e, en tant qu’oreille contredisant la maximalit´e de H. Donc H est couvrant. Puisque chaque arˆete de E(G) \ E(H) peut eˆ tre rajout´ee en tant qu’oreille, nous concluons que H = G.

36. (Tutte [1961], Thomassen [1980]) Soit G un graphe 3-connexe ayant au moins cinq sommets. Il existe une arˆete e telle que G/e soit 3-connexe. Preuve. Supposons ce r´esultat faux. -`a-d. a une composante connexe C avec |V (C)| < |V (G)| − 3. Choisissons e, x et C de telle sorte que |V (C)| soit minimum. x a un voisin y dans C, sinon C serait une composante connexe de G − {v, w} (mais G est 3-connexe). -`a-d. qu’il existe un sommet z tel que G − {x, y, z} est non connexe. Puisque (v, w) ∈ E(G), il existe une composante connexe D de G − {x, y, z} qui ne contient ni v ni w.

Les composantes fortement connexes sont {c}, {a, b, f, g} et {d, e}. 3. En r´esum´e, un premier DFS est utilis´e pour trouver des labels appropri´es, tandis que le second DFS consid`ere le graphe o`u les orientations sont invers´ees et les sommets sont examin´es par ordre d´ecroissant par rapport a` l’ordre induit par les labels. Chaque composante connexe de la seconde forˆet-DFS est une antiarborescence, graphe obtenu en inversant tous les arcs d’une arborescence. Nous montrons maintenant que ces antiarborescences identifient les composantes fortement connexes.

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