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By Cesare Rossetti

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Educational Interfaces between Mathematics and Industry: Report on an ICMI-ICIAM-Study

This publication is the “Study e-book” of ICMI-Study no. 20, which was once run in cooperation with the foreign Congress on and utilized arithmetic (ICIAM). The editors have been the co-chairs of the research (Damlamian, Straesser) and the organiser of the learn convention (Rodrigues). The textual content incorporates a complete file at the findings of the research convention, unique plenary shows of the learn convention, experiences at the operating teams and chosen papers from everywhere global.

Analytic Properties of Automorphic L-Functions

Analytic houses of Automorphic L-Functions is a three-chapter textual content that covers massive study works at the automorphic L-functions hooked up through Langlands to reductive algebraic teams. bankruptcy I specializes in the research of Jacquet-Langlands equipment and the Einstein sequence and Langlands’ so-called “Euler products”.

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Example text

Pag . 307 5. Calcolare i seguenti integrali, in cui il si m bolo delta" di Dirac : Ii = J� 5 x 2 6 ( x 2 - 9 ) dx , 1 = J� x 2 6 (x 2 - 9 ) d x , h = 2 DFD /4 = J03 x3ò ( x 2 - 9) d x , 3 Is = f'l -�2rrù 100 indica la " funzione J� 5 x3 6 ( x 2 - 9 ) d x , f� ( x + 2) 6 ( :3 x 2 - l 2 ) d x . Pag . :3 1 0 2 RD 4 . Data la relazione cli dispersione f (Z ) 6 ( - · ) 1 /3 1 , (X + 1 ) (X - Z) 1 +Z individuare eia essa le singolarità cli f ( z ) , identificare il foglio di Riemann in cui è stata scritta e dove è stato posto il taglio e riconoscere la discontinuità cl i f ( z) attraverso tale taglio .

L i m (z - l )p(z) = lim Po = z---; I z ----; I Z + l qo = im ( z z----; I I 5 = -, 2 - 1 ) 2 q ( z) = O e quindi l 'equazione caratteristica è le sue radici, cioè gli esponenti caratteristici del punto z= 1, sono PI = o, L 'equazione data non ha altri punti singolari al finito . Per q uanto riguarda il punto all 'infinito, si vede facilmente che esso è singolare (lim 2 _, 00 zp(z) i limz_,00 z 4 q(z) = oo ) , ma di tipo fuchsiano ; infatti si ha 2; zp(z) = 4, Po = zlim ----; oo qo = zlim z 2 q ( z) = 2; ----; oo l 'equazione indiciate relativa al p unto all 'infinito, p 2 - (po - l ) p + qo = O, risulta dunque, nella fattis pecie, l 'equazione p 2 - 3p + 2 = (p - l ) (p - 2) = o le cui radici PI = 2, P2 = 1 forniscono gli esponenti ca ratteristici del punto all 'infinito.

La soluzione richiesta O, 'V k èfunzione dunque, a meno1 di una arbitraria kcostante moltiplicativa, la semplicissima [9] X 2'. Dato che i due indici caratteristici del punto = 3 sono 2 e O, sappiamo che una soluzionenell'intorno della [1] linearmente dalla soluzione [9] è certo rappresentabile, del punto indipendente = 3, con una forma del tipo [10] k=O k=O dove abbiamo mantenuto l'identificazione ç :3 . Sostituendo la[lO] nella x 00 x 00 = :r - 21 [7] si vede che la costante a e i coefficienti dk devono soddisfare la relazione ç(ç + 2) { a[2 ln ç + 4 - 1] + Lk k ( k - l ) dk ç k -2 }+ + (ç - 2) { 2aç In ç + aç + Lk kdk ç k - l } ­ - 4aç 2 In ç - 4 L d k e = k dove i termini sottolineati (contenenti il fattore In ç) si elidono grazie al fatto che U 1 = ç 2 è soluzi o ne della[7]; la precedente C ondizione impone dunque che Sia O = a[3ç (ç + 2) + ç ( ç - 2)] + + I:k {k ( k - 1 ) (ç + 2) e- 1 dk + k (ç - 2)ç k - 1 dk - 4e d k } = = 4a (ç 2 + ç) + L {e [k ( k - 1) + k - 4]dk + ç k - 1 [2 k ( k - 1) - 2 k] dk } , k cioè, in definitiva, 4a (ç 2 + o + L [ ( k 2 - 4) d k + 2( k 2 - 1) d k + iJ e = o.

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